الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $4$ هي المصفوفة المربعة $4 \times 4$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{4})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{4}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.5.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.9.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.10.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.12.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.13.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.14.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.15.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.8

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.9

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.10

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.11

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.4.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.4.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1.1

وسّع $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1 (- λ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.2.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.3

اضرب $- λ \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.3.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.2.2

أضف $λ$ و $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + 2 λ + λ^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.4.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 0)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.2.2

أضف $2 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (2 λ + λ^{2})) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.4.2.3

أعِد ترتيب $2 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.1.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.1.2

أضف $0$ و $(- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.2

وسّع $(- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 (λ^{2} + 2 λ) - λ (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - λ (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.3.1.1

أعِد كتابة $- 1 λ^{2}$ بالصيغة $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 1 (2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.3.1.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.3.1.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.3.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.3.2

اطرح $2 λ^{2}$ من $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.4

انقُل $- 2 λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ^{2} - λ^{3} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4.5.5

أعِد ترتيب $- 3 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} | - (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 \cdot 0 - (- 1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.2.1.1

اضرب $0$ في $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 - (- 1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 - - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3.2.1.4

اضرب $- - λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3.2.1.4.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.3.2.3

أعِد ترتيب $1$ و $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

خطوة 1.5.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1))$

خطوة 1.5.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.1

اضرب $0$ في $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 - 1 \cdot 1))$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 - 1))$

خطوة 1.5.5.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.1

اطرح $(- 1 - λ) (λ + 1)$ من $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (- (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((- - 1 - - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 - - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.3

اضرب $- - λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 + 1 λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.3.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 + λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.4

وسّع $(1 + λ) (λ + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 (λ + 1) + λ (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 λ + 1 \cdot 1 + λ (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 λ + 1 \cdot 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.2.5.1.1

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 \cdot 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.5.1.2

اضرب $1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.5.1.3

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.5.1.4

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ^{2} + λ + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.5.2

أضف $λ$ و $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.5.5.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + 1 + λ^{2} - 1)$

خطوة 1.5.5.5.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 λ + 1 + λ^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + λ^{2} + 0)$

خطوة 1.5.5.5.3.2

أضف $2 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + λ^{2})$

خطوة 1.5.5.5.4

أعِد ترتيب $2 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.1

أضف $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ و $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.1.2

أضف $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ و $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.1

وسّع $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = - 1 (- λ^{3}) - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.2.1

اضرب $- 1 (- λ^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{3} - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.1.2

اضرب $λ^{3}$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{3} - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.5

اضرب $λ$ في $λ^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.2.5.1

انقُل $λ^{3}$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.5.2

اضرب $λ^{3}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.2.5.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.5.3

أضف $3$ و $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + 1 λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.7

اضرب $λ^{4}$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.9

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.2.9.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.9.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.2.9.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.9.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ^{3} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.10

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.12

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.2.12.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.12.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.2.13

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} + 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.3

أضف $λ^{3}$ و $3 λ^{3}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.4

أضف $3 λ^{2}$ و $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 λ^{2} - 1 (2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.6

أعِد كتابة $- 1 λ^{2}$ بالصيغة $- λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 1 (2 λ)$

خطوة 1.5.6.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 2 λ$

خطوة 1.5.6.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 2 λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1

اطرح $2 λ$ من $2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2} + 0$

خطوة 1.5.6.3.2

أضف $4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2}$

خطوة 1.5.6.4

اطرح $λ^{2}$ من $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + λ^{4} + 4 λ^{2}$

خطوة 1.5.6.5

أعِد ترتيب $4 λ^{3}$ و $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2} = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.1.1.2

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $4 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ) + 4 λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.1.1.3

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $4 λ^{2}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ) + λ^{2} \cdot 4 = 0$

خطوة 1.7.1.1.4

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ) + λ^{2} \cdot 4 = 0$

خطوة 1.7.1.1.5

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{2} (λ^{2} + 4 λ) + λ^{2} \cdot 4$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ + 4) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ + 2^{2}) = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 λ = 2 \cdot λ \cdot 2$

خطوة 1.7.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$λ^{2} (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

خطوة 1.7.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = λ$ و $b = 2$ .

$λ^{2} {(λ + 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ + 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.3.2

أوجِد قيمة $λ$ في $λ^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.7.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.7.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$λ = \pm 0$

خطوة 1.7.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$λ = 0$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة ${(λ + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة ${(λ + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(λ + 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في ${(λ + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

عيّن قيمة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 2 = 0$

خطوة 1.7.4.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 2$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $λ^{2} {(λ + 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$λ = 0, - 2$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $0$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.10

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.11

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.12

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.13

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.14

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.15

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.16

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.5

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.6

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.7

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.8

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.9

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.10

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.11

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.12

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.13

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.14

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.15

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.16

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - x_{4} = 0$

$x_{2} - x_{3} = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{4} \\ x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.10

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.11

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.12

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.13

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.14

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.15

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.16

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 1 + 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أضف $- 1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أضف $- 1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.10

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.11

أضف $- 1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.14

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.16

أضف $- 1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{4} = 0$

$x_{2} + x_{3} = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{4} \\ - x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$